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「∀x」は、「任意のxに対して……」と読むが、「対して」という言葉からわかるように、既にある種の写像を想定している。
しかし、「∀x∈X ∃y∈Y (x,y)∈Q」（Qは二項述語）が証明されたからと言って、f(x)=y, (x,y)∈Qという写像fの存在を証明するのは容易ではない。


と思う。
ような気がする。
いや、もしかしたらある種のテクニックで簡単に示せるけど僕が慣れてないだけかもしれない。


【追記】
いや、よく考えてみたら、簡単に示す方法がありました。


X,Yは空でない集合として、∀x∈X ∃y∈Y (x,y)∈Q…(1)とする（Qは二項述語）。
F={λ∈X×P(Y)|∃a∃b (λ=(a,b)かつb={ρ∈Y|(a,ρ)∈Q})}（P(Y)はYのべき集合）
とする。Fが写像であるのは明らか。
また、∀x∈X F(x)≠φである（φは空集合）。実際、F(x)={ρ∈Y|(x,ρ)∈Q}であるが、(1)より、∃y∈Y (x,y)∈Qである。
ここで、P(Y)の選択写像をGとする。G○F（○は写像の合成を表す記号）は、X→Yなる写像で、(x,y)∈G○Fに対して(x,y)∈Qを満たす。